수학의 역사 #3 — 고대 그리스 수학 II : 황금기

 알렉산드리아, 지식의 수도

기원전 4세기, 알렉산더 대왕이 세계를 정복하면서 그리스 문명은 이집트까지 뻗어 나갔습니다. 이집트 북부 해안에 세워진 도시 알렉산드리아는 순식간에 고대 세계의 지식 중심지로 떠올랐어요.

이곳에는 무세이온(Mouseion)이라는 거대한 연구소와 70만 권의 책을 소장했다고 전해지는 알렉산드리아 도서관이 있었습니다. 세계 각지의 학자들이 이곳으로 몰려들었고, 그 중에 유클리드와 아르키메데스가 있었어요.

그리스 수학의 황금기는 바로 이 시대, 이 도시를 배경으로 펼쳐집니다.

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유클리드 — 수학을 하나의 체계로 묶은 사람

유클리드(Euclid, 기원전 약 330~275년)는 사실 개인으로서의 기록이 거의 남아있지 않습니다. 언제 태어났는지, 어디 출신인지도 불분명해요. 그런데도 그의 이름이 수학의 역사에서 가장 중요한 인물 중 하나로 꼽히는 이유는 단 하나, 바로 원론(Elements) 때문입니다.

원론이란 무엇인가

원론은 기원전 300년경에 쓰인 수학 교과서입니다. 총 13권으로 이루어져 있으며, 기하학, 수론, 비율 등 당시 알려진 수학 지식을 집대성한 책이에요.

원론이 특별한 이유는 내용 자체보다 그 구성 방식에 있습니다.

유클리드는 책의 맨 앞에 단 5개의 공리(公理)를 제시했어요. 공리란 "누구나 당연히 참이라고 인정할 수 있는 전제"입니다. 예를 들어 이런 것들이에요.

첫째, 임의의 두 점 사이에는 직선을 그을 수 있다. 둘째, 직선은 양쪽으로 무한히 연장할 수 있다. 셋째, 임의의 점을 중심으로 임의의 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다.

이 5개의 공리만을 출발점으로 삼아, 유클리드는 이후 수백 개의 명제를 논리적으로 하나씩 증명해 나갔습니다. 앞에서 증명된 것을 이용해 다음 것을 증명하고, 그것을 이용해 또 다음 것을 증명하는 방식이에요.

이것을 공리적 방법(axiomatic method)이라고 합니다. 오늘날 수학이 쌓아올려지는 방식이 바로 이거예요. 유클리드가 2,300년 전에 만든 이 틀이 지금도 그대로 쓰이고 있는 겁니다.

원론의 영향력

원론은 역사상 성경 다음으로 많이 출판된 책이라는 말이 있을 정도로 엄청난 영향을 미쳤습니다. 19세기까지 유럽 대부분의 학교에서 수학 교과서로 사용되었고, 뉴턴, 갈릴레오, 링컨까지도 원론을 읽었다는 기록이 남아있어요.

링컨이 원론을 읽은 이유가 흥미로운데, 그는 변호사로서 논리적으로 주장을 펼치는 방법을 배우기 위해 원론을 공부했다고 합니다. 수학책이 논리적 사고의 훈련서로 쓰인 거예요.

제5공리의 비밀

유클리드의 5개 공리 중 다섯 번째는 나머지 넷과는 조금 달랐습니다. 내용이 복잡하고 직관적으로 명확하지 않았거든요. 이것을 평행선 공리라고 해요.

간단히 표현하면 이렇습니다. "직선 밖의 한 점을 지나며 그 직선과 평행한 직선은 오직 하나만 존재한다."

수천 년 동안 수학자들은 이 공리가 왜 필요한지, 앞의 네 공리로부터 증명할 수 없는지 고민했어요. 그리고 19세기에 이르러 이 공리를 부정하면 완전히 새로운 종류의 기하학이 만들어진다는 사실이 밝혀집니다. 그것이 비유클리드 기하학이고, 아인슈타인의 상대성이론에도 쓰이는 수학이에요. 이 이야기는 나중 편에서 자세히 다룰게요.

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아르키메데스 — 역사상 가장 위대한 수학자

유클리드가 수학의 체계를 세운 사람이라면, 아르키메데스(Archimedes, 기원전 287~212년)는 순수한 수학적 천재성으로 역사에 이름을 남긴 사람입니다.

많은 수학자들이 아르키메데스를 뉴턴, 가우스와 함께 역사상 세 손가락 안에 드는 수학자로 꼽아요.

유레카! — 목욕탕에서 튀어나온 사람

아르키메데스 하면 가장 먼저 떠오르는 이야기가 있죠. 왕이 금으로 만든 왕관이 진짜 순금인지 확인해 달라고 했을 때, 목욕탕에 들어가다 물이 넘치는 것을 보고 원리를 깨달아 벌거벗은 채로 "유레카!(알았다!)"를 외치며 뛰어나갔다는 일화예요.

이것이 부력의 원리, 즉 아르키메데스의 원리입니다. 물체가 유체 속에서 받는 부력은 그 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같다는 것이죠.

이 일화가 사실인지 아닌지는 확실하지 않지만, 아르키메데스가 수학과 물리학을 넘나들며 당시로서는 상상하기 어려운 발견들을 해낸 것은 분명한 사실입니다.

원주율 π를 계산하다

아르키메데스가 이룬 수학적 업적 중 하나는 원주율 π의 근삿값 계산입니다.

원의 둘레를 지름으로 나눈 값이 항상 일정하다는 것은 고대부터 알려져 있었어요. 하지만 그 값을 정확히 구하는 것은 다른 문제였습니다.

아르키메데스는 원 안에 정다각형을 그려 넣고, 변의 수를 점점 늘려가는 방법을 사용했어요. 정6각형, 정12각형, 정24각형… 이렇게 계속 늘리면 다각형이 점점 원에 가까워지거든요. 그는 이 방법으로 96각형까지 계산해서 π의 범위를 다음과 같이 좁혔습니다.

$$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$$

소수로 나타내면 약 3.1408에서 3.1429 사이예요. 실제 π는 약 3.14159이니 놀라운 정확도죠.

이 방법이 대단한 이유는 단순히 어림값을 구한 게 아니라, π가 반드시 이 범위 안에 있어야 한다는 것을 논리적으로 증명했기 때문입니다.

적분의 선조 — 소진법

아르키메데스의 가장 위대한 수학적 아이디어는 소진법(method of exhaustion)입니다.

곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 것은 고대 수학자들에게 매우 어려운 문제였어요. 직선으로 이루어진 삼각형이나 사각형의 넓이는 쉽게 구할 수 있지만, 포물선이나 원처럼 곡선이 포함된 도형은 달랐거든요.

아르키메데스는 이런 도형을 작은 삼각형들로 잘게 나눠 채워 넣는 방법을 사용했습니다. 삼각형을 점점 더 작게, 더 많이 채워 넣을수록 실제 넓이에 가까워지는 원리예요.

이것은 약 2,000년 뒤 뉴턴과 라이프니츠가 발명한 적분(integration)의 핵심 아이디어와 본질적으로 같습니다. 아르키메데스는 미적분이 탄생하기 한참 전에, 그 씨앗을 이미 심어 놓은 거예요.

지렛대와 "지구를 들어올리겠다"

아르키메데스는 수학뿐 아니라 물리학과 공학에서도 뛰어난 업적을 남겼습니다. 지렛대의 원리를 수학적으로 분석한 것이 대표적이에요.

그는 이런 말을 남겼다고 전해집니다.

"나에게 서 있을 곳과 충분히 긴 지렛대를 달라. 그러면 지구도 들어올리겠다."

실제로 시라쿠사의 왕 히에론 2세 앞에서 도르래와 지렛대를 이용해 거대한 배를 혼자 물가로 끌어당기는 시범을 보였다고 해요.

아르키메데스의 최후

아르키메데스는 기원전 212년, 로마군이 시라쿠사를 점령할 때 죽음을 맞이했습니다. 전해지는 이야기에 따르면, 그는 모래 위에 그린 도형을 들여다보다가 로마 병사에게 발견되었어요.

병사가 장군 앞으로 오라고 명령하자, 아르키메데스는 "내 도형을 밟지 마라"고 말했고 그 자리에서 죽임을 당했다고 합니다.

로마의 장군 마르켈루스는 아르키메데스를 살려두라고 명령했었지만, 이미 때는 늦었다고 해요. 마르켈루스는 그의 죽음을 몹시 슬퍼했다고 전해집니다.

아르키메데스는 자신의 묘비에 구와 그것에 외접하는 원기둥의 그림을 새겨달라고 했습니다. 구의 부피와 겉넓이가 외접하는 원기둥의 각각 3분의 2라는 사실을 발견한 것을 가장 자랑스럽게 여겼거든요. 로마의 웅변가 키케로가 훗날 시라쿠사에서 이 묘비를 발견했다는 기록이 남아있습니다.

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 황금기가 남긴 것

유클리드는 수학에 체계와 논리를 선물했고, 아르키메데스는 그 논리를 극한까지 밀어붙였습니다. 두 사람이 만들어 낸 수학의 황금기는 이후 수천 년 동안 인류가 참고할 지식의 보고가 되었어요.

그리스 수학은 기원전 2세기 이후 로마의 지배와 함께 서서히 쇠퇴합니다. 하지만 그 불씨는 완전히 꺼지지 않았어요. 이슬람 학자들이 그리스 수학을 번역하고 발전시키며 다음 시대로 전달해 주었거든요.

다음 편에서는 0을 발명한 인도 수학자들의 이야기를 다룹니다. 우리가 당연하게 쓰는 숫자 0이 얼마나 혁명적인 발견이었는지 함께 알아봐요.

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