원기둥의 옆면 곡률과 전개도 가능성

 

1. 원기둥의 옆면은 ‘부분적으로 휘어져 있지만, 가우스 곡률은 0’

원기둥은 우리가 보기에는 “둥글게 휘어져” 있어서 곡률이 있는 것처럼 느껴지지만,
수학적으로는 ‘곡률이 있는 면’이 아니라 곡률이 0인 면이다.

✔ 주곡률(principal curvatures)

곡면에서 임의의 점을 지나가는 여러 방향 중
곡률이 가장 큰 방향(k₁) 과 가장 작은 방향(k₂) 를 주곡률이라고 한다.

원기둥의 경우:

• 세로 방향(축 방향) : 완전한 직선 → 곡률 = 0
• 둘레 방향 : 원이므로 곡률 = 1/r

✔ 가우스 곡률(Gaussian curvature)

 

원기둥 옆면의 가우스 곡률은 항상 0

즉, 원기둥은 “한 방향으로만 구부러지고, 다른 방향은 평평한 면”이다.

2. 원기둥의 옆면은 왜 ‘전개도’로 펼쳐질까?

가우스가 증명한 중요한 성질:

가우스 곡률이 0인 곡면은 평면으로 펼 수 있다.
(구겨짐·찢김 없이 전개(develop) 가능한 면)

원기둥은 정확히 이 조건을 만족한다.

 전개도 가능의 이유

• 둘레 방향은 둥글게 휘어져 있지만
• 높이 방향은 완전히 평평하여 곡률 0

즉, 종이를 말아서 원기둥을 만들 수 있는 것처럼, 원기둥도 반대로 종이처럼 펼쳐서 직사각형이 된다. 그래서 원기둥을 칼로 한 줄 자르면:

직사각형 → 말기 → 원기둥
원기둥 → 자르기 → 직사각형

이는 곡률 0 곡면의 대표적 성질이다.

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3. ‘구’와의 비교  

구는 펼칠 수 없지만  원기둥은 종이처럼 펼쳐진다 그 이유는 곡률이 0이기 때문이다.