자연이 그리는 수학, 프랙탈의 흔적들

우린 하루하루 자연과 함께 살아간다.

하늘에 떠있는 구름 , 나뭇 가지 사이로 비치는 햇살, 하늘을 가르는 번개, 육지의 끝인 해안선...

 

이런 자연을 자세히 들여다보면  그속에는 공통된 어떤 형태의 패턴들이 숨겨져 있다는것을 알수 있다.

그것이 바로 프랙탈이다.

프랙탈은 어떤부분을 확대해봐도  그 전체와 닮아있는 독특한 구조로 이루어져 있다.
프랙탈은 이전에 소개한 망델브로 집합이나 쥘리아 집합처럼

수학의 한갈래에서 시작 되었지만 ,사실 이미 자연은 오래전부터 프랙탈을 품고 있고 있었다,

 

 나뭇가지와 잎맥

나무를 보면는, 가지가 갈라지고, 또 그 가지에서 또 가지가 다시 갈라진다.  
이 구조는 나뭇잎의 잎맥에서도 볼 수 있다.  
큰 줄기에서부터 시작된 잎맥은 점점 더 가늘게 갈라지면서  
마치 복잡한 도로망처럼 말이다.
이런 갈라짐은 프랙탈의 전형적인 특징이다.  
부분을 잘라서 들여다봐도, 전체와 비슷한 구조가 계속 반복된다.  
이런 구조 덕분에 나무는 효율적으로 햇빛을 받고,  
잎은 구석구석까지 수분과 영양분을 전달할 수 있다.

번개

번개가 하늘을 가르며 뻗어나갈 때의 모습을 본 적 있을 것이다. 
그 또한  프랙탈이다.  
한 줄기에서 시작된 번개는 공기 중을 따라 나뭇가지처럼 퍼져 나가며 갈라지고,  
그 끝은 다시 작은 갈래로  이어져 다시 갈라진다.

이런 갈라짐도 마찬가지로  
‘부분이  그 전체를 닮는’ 프랙탈 구조를 보여주는 예이다. 
실제로 번개를 시뮬레이션할 때도  
프랙탈 수식을 이용해 그 복잡한 모양을 표현한다.

 해안선

지도를 자세히 들여다보면,  
해안선은 절대로 반듯하지 않다.  
멀리서보면 그냥 구불구불하지만,  
가까이 가면갈수록   작고 복잡한 굴곡이 끊임없이 나타난다.  
이런 해안선의 모습 역시 프랙탈의 특징을 보여준다.

영국 수학자 브누아 망델브로는   
“해안선의 길이 잴 때, 사용하는 자의크기에 따라 달라진다 "말을 했다  
이 말은 자연은 단순한 직선으로 측정되지 않으면 복잡한 프랙탈 구조로,

자연 속에서 측정이 얼마나 상대적인지를 설명했다.  
프랙탈 구조는 그런 현실을 수학적으로 잘 설명해준다.

 눈송이

눈송이도 프랙탈이다.  
작은 얼음 결정이 대칭적으로 뻗어나가면서 만들어지는 눈송이 모양은  
하나하나가 다르지만, 모두 복잡하고도 아름답다.  
눈송이의 팔 모양은 대칭과 반복이라는 프랙탈의 특징을 잘 보여준다.

 브로콜리와 해바라기

브로콜리를 자르면, 그 단면에서도 프랙탈을 볼 수 있다.  
특히 로마네스코 브로콜리는 나선형으로 배열된 봉오리가  
작은 부분에서도 전체와 닮아 있는 완벽한 프랙탈 구조다.

해바라기의 씨앗 배열도 마찬가지다.  
씨앗들이 황금비에 따라 나선형으로 배열되며,  
이 역시 자연 속에서 프랙탈이 어떻게 효율성있는 배치를  만들어내는지를 보여주는 예다.

 자연은 왜 프랙탈을 쓸까?

프랙탈 구조는 효율적이기 때문이다.  
공간을 최대한 활용하고, 빠르게 에너지를 전달하고,  
작은 구조를 반복해서 큰 구조를 만드는 데  훨씬 유리하기 때문이다.

자연은 수천만 년의 진화 속에서  
‘복잡하지만 규칙적인 구조’를 통해  
최적의 방식으로 자신을 만들고 유지해 왔다.  
이것이  바로 프랙탈이다.


우리는 자연을 볼 때 그저 '예쁘다'고 느끼지만  
그 속엔 수학적인 원리가 숨어 있다.  

그것을 보여주는 것이 프랙탈이다.
  
수학은 교과서 속 공식만이 아니라,  이렇게 자연속에서도  수학은 살아있다.

 

자연은 늘 수학보다 앞서 있었다.  
우리가 이제야서 그것을 알아보기 시작했을 뿐이다.