프랙탈의 또 다른 얼굴, 쥘리아 집합

지난 글에서 ‘망델브로 집합’을 소개하였다.
한개의 간단한 수식이 만들어낸 무한한 아름다움,  
그리고 아무리 여러번 확대해도 끝없이 계속되는 프랙탈의 세계.

오늘은 망델브로 집합과 깊은 관련이 있는  
쥘리아 집합(Julia Set)에 대해 설명해 보려한다.  
이 집합도 역시 수학이 만들어낸 놀라운 예술이며, 
혼돈과 질서가 공존하는 세상이다.

하나의 수식, 두 개의 세계

쥘리아 집합도 망델브로 집합과 같은 수식을 기반으로 한다.

하지만 중요한 차이가 있다.  
망델브로 집합에서는 Z_0=0에서 시작해서  
복소수 C 를 바꿔가며 수열이 발산하는지를 살펴봤다면,  
쥘리아 집합은 C를 고정하고  
Z_0를 다양한 값으로 바꿔가며 살펴본다는 점에서 그 차이가 있다. 

즉, 망델브로 집합이 C중심이라면,  
쥘리아 집합은 Z_0중심이다.



쥘리아 집합의 세계는 ‘복소수’ 놀이터

조금 더 쉽게 설명하자면 이렇다.

어떤 복소수 C하나를 딱 정하면,  
그 값은 일종의 ‘세계의 규칙’이 된다.  
그리고 우리는 Z_0라는 ‘캐릭터’를  
수많은 위치에 뿌려 놓고, 이 규칙에 따라 움직이게 한다.

어떤 캐릭터는 규칙을 따라 점점 멀리 날아가고,  
어떤 캐릭터는 규칙 안에서 빙빙 돌며 절대 바깥으로 나가지 않는다.  
쥘리아 집합은 이 중 "절대 바깥으로 나가지 않는" 캐릭터들만 모아 놓은것이다.

그것을  복소수 평면 위에 색깔로 나타내면  
정말로 놀랍도록 아름다운 프랙탈 무늬가 나타난다.

쥘리아 집합과 망델브로 집합은 연결되어 있다

쥘리아 집합은 수없이 많은 모습으로 존재할 수 있다.

왜냐하면 복소수 C의 값을 어떻게 정하느냐에 따라 

쥘리아 집합의 모습도 전혀 달라지기 때문이다.

여기에서 중요한 건, 

C의 값이 망델브로 집합 안에 있는지 아닌지에 따라서  
쥘리아 집합의 성질이 달라진다는 점이다.

만약 C가 망델브로 집합 안에 있다면,  쥘리아 집합은 하나로 연결된 모양이 된다.

하나로 연결된 형태

만약 C가 망델브로 집합 밖에 있다면,  쥘리아 집합은 조각조각 부서진 먼지 같은 형태가 된다.  
    이런 걸 "fatou dust"라고도 부른다.

"fatou dust"

이처럼 망델브로 집합은 마치  쥘리아 집합이 연결될 수 있는지 아닌지를 알려주는 "지표"처럼 작동한다.



수학, 그 이상

쥘리아 집합도 역시 프랙탈 구조를 가지고 있다.  
작은 부분을 확대해도 끝없는 복잡성과 반복이 나타난다.  
그래서 많은 사람들이 이 집합을  아름다운 예술 작품처럼 감상하기도 하고,  
디자인, 컴퓨터 그래픽, 심지어 음악에서도 활용도가 높다.

나는 쥘리아 집합을 보며 이런 생각을 해본다. 
"한개의 규칙 안에서 살아가는 무수한 존재들,  
그 중 어떤 존재는 멀리 날아가고,  
어떤 존재는 그 안에서 평화롭게 머문다.  
우리는  이 중에서 어떤 선택을 하고 있을까?"

수학은 숫자만 다루는 학문이 아니다.  
그 안에는 철학이 있고, 아름다움이 있고, 우리가 사는 세계에 대한 깊은 통찰을 가지고 이싿. .  
쥘리아 집합은 그걸 보여주는 좋은 예라 할수 있다.   
복잡하지만 질서 있는 세상,  
그리고 그 안에서 살아가는 수많은 가능성.

이제부터는  망델브로 집합과 쥘리아 집합,  
두 개의 프랙탈을 통해서 수학이라는 세계가  
얼마나 넓고 깊은지 조금은 느낄 수 있지 않을까한다.