수학이 좋아지는 글들37 카오스와 인간의 삶: 우연과 필연에 대하여 우리는 종종 이런 말을 듣게 된다."세상엔 다 이유가 있어." 혹은, "그건 우연이 아니라 필연이야."하지만 정말 모든 일이 정해진 대로 흘러가는 것일까? 우연은 단지 우리가 모르는 필연일 뿐일까? 이 질문에 과학은 조금 다른 방식으로 접근한다. 그리고 그 중심엔 카오스 이론(혼돈 이론)이 있었다. 혼돈은 무질서가 아니다카오스 이론은 복잡해 보이는 현상들 속에서도 숨겨진 규칙과 질서가 있음을 잘 보여준다. 하지만 그 질서가 너무 민감하고 복잡해서 결과를 정확히 예측하기 어렵다는 것이 중요한 핵심이다.예를 들어, 날씨는 근본적으로 물리 법칙에 따라 움직이지만 아주 작은 초기 값의 차이가 며칠 뒤 완전히 다른 결과를 만들고 만다. 이걸 나비 효과(Butterfly Effect)라고 부른다.. 2025. 4. 6. 오답노트를 꼭 써야 하는 이유 솔직히 말하면, 나도 학생 때 오답노트가 귀찮았어“이미 틀린 문제인데 또 봐야 해?” “다시 풀면 되지, 굳이 써야 해?” 그런 생각이 들었거든.근데 지금은 말할 수 있어 수학이 어려워지는 진짜 이유 중 하나는 틀린 걸 제대로 돌아보지 않아서라는 걸.오답은 ‘네가 놓친 부분’의 지도야수학은 실수 한 끗, 개념 한 줄, 조건 하나로 틀리잖아. 그 작은 것들이 “어디서부터 헷갈렸는지”딱 표시된 게 바로 오답이야.근데 그걸 그냥 다시 풀기만 하고 넘기면 다음에 또 헷갈려.오답은 복습이 아니라, 분석이 필요한 거야.실수를 다시 안 하려면 ‘틀린 이유’를 알아야 해많은 학생들이 오답노트를 이렇게 쓴다: “문제 다시 풀고, 정답 적고, 끝.”근데 그건 오답노트가 아니라 해설 복사노트야. 진짜 중요한.. 2025. 4. 5. 선생님도 수학이 무서웠던 적 있어요-나의 아름다운 제자에게 나의 아름다운 제자에게 쓰는 편지 수학이 싫다는 너의 마음, 사실 나도 잘 알아. 선생님이라고 늘 수학이 좋았던 건 아니었거든. 아니, 오히려 수학을 ‘좋아하게 된 시기’는 꽤 늦었어.나는 수학과에 들어가서도 한동안 수학을 재미있다고 느끼지 못했어. 그저 해야 하니까 했고, 남들보다 조금 잘하는 게 있어서 그냥 계속 공부했던 거지. 그게 ‘재미’인 줄 알았어. 수학이 재미있어진 건, 정말 한참 지나고 나서였어대학 3학년쯤이었을 거야. 그땐 누가 시켜서 하는 공부가 아니라 그냥 내가 좋아서 들여다보는 수학이 생겼어.처음엔 어떤 문제를 풀다가 “어? 이거 좀 재밌다?” 하는 마음이 들었고, 그러다 어느 순간엔 ‘나만 아는 수학의 멋짐’을 발견하는 순간들이 생기더라.조금만 잘하면 다른 사람.. 2025. 4. 5. 예측할 수 없는 질서, 혼돈 이론(카오스) 예측할 수 없는 질서, 혼돈 이론(카오스)우리는 종종 세상이 질서와 규칙으로 이루어져 있다고 생각한다. 하지만 세상을 조금 더 깊이 들여다보면, 작은 차이가 엄청난 결과를 만들어내는, 복잡하고 예측 불가능한 현상들이 숨어 있다. 이런 현상을 설명하는 것이 바로 혼돈 이론 또는 카오스 이론(Chaos Theory)이다.- 혼돈은 진짜 '혼란'일까?혼돈(카오스)이라는 말을 들으면 마치 아무 규칙도 없는 ‘엉망진창’인 상황을 떠올릴 수 있겠지만 혼돈 이론에서 말하는 혼돈은 그냥 대책없는 무질서가 아니다.카오스 이론은 오히려 “규칙이 있지만, 결과를 정확히 예측하기 어려운 시스템”을 말한다. 즉, 완벽한 수학적 법칙에 따라 움직이지만, 아주 작은 변화가 결과에 큰 영향을 주기 때문에 결과가 불확.. 2025. 4. 4. 자연이 그리는 수학, 프랙탈의 흔적들 우린 하루하루 자연과 함께 살아간다.하늘에 떠있는 구름 , 나뭇 가지 사이로 비치는 햇살, 하늘을 가르는 번개, 육지의 끝인 해안선... 이런 자연을 자세히 들여다보면 그속에는 공통된 어떤 형태의 패턴들이 숨겨져 있다는것을 알수 있다.그것이 바로 프랙탈이다.프랙탈은 어떤부분을 확대해봐도 그 전체와 닮아있는 독특한 구조로 이루어져 있다.프랙탈은 이전에 소개한 망델브로 집합이나 쥘리아 집합처럼수학의 한갈래에서 시작 되었지만 ,사실 이미 자연은 오래전부터 프랙탈을 품고 있고 있었다, 나뭇가지와 잎맥나무를 보면는, 가지가 갈라지고, 또 그 가지에서 또 가지가 다시 갈라진다. 이 구조는 나뭇잎의 잎맥에서도 볼 수 있다. 큰 줄기에서부터 시작된 잎맥은 점점 더 가늘게 갈라지면서 마치 복잡한 도로망처럼 말.. 2025. 4. 3. 프랙탈의 또 다른 얼굴, 쥘리아 집합 지난 글에서 ‘망델브로 집합’을 소개하였다.한개의 간단한 수식이 만들어낸 무한한 아름다움, 그리고 아무리 여러번 확대해도 끝없이 계속되는 프랙탈의 세계.오늘은 망델브로 집합과 깊은 관련이 있는 쥘리아 집합(Julia Set)에 대해 설명해 보려한다. 이 집합도 역시 수학이 만들어낸 놀라운 예술이며, 혼돈과 질서가 공존하는 세상이다.하나의 수식, 두 개의 세계쥘리아 집합도 망델브로 집합과 같은 수식을 기반으로 한다.하지만 중요한 차이가 있다. 망델브로 집합에서는 Z_0=0에서 시작해서 복소수 C 를 바꿔가며 수열이 발산하는지를 살펴봤다면, 쥘리아 집합은 C를 고정하고 Z_0를 다양한 값으로 바꿔가며 살펴본다는 점에서 그 차이가 있다. 즉, 망델브로 집합이 C중심이라면, 쥘리아 집합은 Z_0중.. 2025. 4. 2. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음
